Una hipérbola musical

Considere la  hipérbola :

y = x +1/x         y su conjugada
y = x -1/x.

Se relacionan con las secuencias de oro (1.618033989) , plata (2.414213562) y con la escala musical.(1.059463)

Los primeros resultados son :
     1;       0.618033989;     0.414213562;     0.302775637... se puede continuar en una secuencia que llamaré "diferente"

Son distancias desde la curva y = x- 1/x   a la izquierda de una asintótica (el eje de las y), i.e son x's negativas. Se puede reconocer que las potencias de estos números sumadas o restadas de sus propios inversos dan números enteros.
Ej. la secuencia de Lucas basada en phi y sus potencias.

Las secuencias de oro y plata son muy antiguas (miles de años). Sin embargo la secuencia "diferente" se relaciona con el diagrama que sigue de números en espiral

En el diagrama espiral cada número se puede leer como el producto de un complejo z por su conjugado z*, o, lo que es lo mismo, la suma de dos cuadrados.

A cada lado del triangular # 6 se ven el 5 y el 7, el 5 es la suma de los cuadrados de 2 y 1. Sumo a cada uno 0.302775637, obtenido de la secuencia "diferente"(vide supra), resultan los dos números cuyos cuadrados sumados dan 7.
2.302775637¨2 + 1.302775637¨2 = 7
Lo mismo vale para cualquier otros dos números vecinos a números triangulares.

Usando como solución la hipérbole todo calza, todo coincide excepto cerca del centro, ahí un par de soluciones no flanquean a un número triangular.
A ese nivel, y en relación al número 1.618033989 y al 3, es que la alineacion de números triangulares se sigue por debajo del centro en vez de hacia arriba. Hay un vuelco...

Métrica espiral de un pozo de energía potencial

".. es ineludible usar alta matemática, teoría cuántica, infinitesimales etc,etc," dijo Salvatierra.
Protesto. En un minuto se escriben 60 números en espiral.

Si enrollo un cordel numerado sobre un vaso paraboloide se ve algo como ésto: 1) círculos concéntricos y 2) arcos que salen de la línea media ej 1, 7, 17, 31, 49, y  ej 15, 29, 47, y ej 15, 27, 43

1) Los círculos no son curvas equipotenciales, cada número ocupa su propio nivel de altura i.e. un corte horizontal a una altura dada corta la espiral en un solo punto, como una escala de caracol: un peldaño por nivel. Si hay 1, 2, 3..., etc, palomas en el 1, 2, 3  ... peldaños, podemos sumar los 100 primeros números como hizo el druída Alcuino, 1000 años antes que el joven Gauss.

2) Los arcos son, al parecer, líneas geodésicas, lo que se puede apreciar poniendo a tensión un cordel sobre el vaso entre la línea media y el borde superior.

El proverbial insecto que recorre espirales en la tradición de Dédalos y Arquímedes ( ambos en Sicilia, en distinta época) informa:
 - se ven abundantes sumas de dos cuadrados especialmente en cuadrantes 2 y 4. Sus raíces son también enteros a distancia de dos cubos,

0 -1-1-8-8-27-27-64-64 etc, etc, ...

Dejo ésto como puzzle por ahora,... continuará...

Una geodesica segura en una superficie paraboloide es un meridiano, en este caso la linea simetral
2, 8,18,32,50
Numeros que son suma de dos cuadrados estan a la misma distancia de esta simetral
ej 13-5 =8 y 13 +5= 18.
13 es la suma de los cuadrados de 2y 3

Se sigue que gráficamente la suma de dos cuadrados distintos representa una parabola con su vértex coincidiendo sobre un punto de la parabola simetral; y por lo tanto representa un corte vertical del vaso, paralelo al eje vertical.

Para llenar el diagrama con productos de números complejos, a mí me sirve la matriz ad hoc

 4 / 3
-2 / 3


Este ejercicio, alternando el signo del 2,antes de multiplicar, permite recorrer los arcos del diagrama.

Todo lo anterior, tan desordenado, me llevó a descubrir la curva geometrica exacta que recorre cada uno de los arcos asintoticos como la línea:

6  16  30  48

La curva es una perfecta ESPIRAL HIPERBOLICA. Se continúa hacia el centro en forma predecible y hacia el cuadrante opuesto tiene una rama simétrica, las dos ramas se cruzan en un un número triangular que en este ejemplo es el 6.

Desde el límite proximal del tiempo

El rostro de Gabriela Mistral impreso en papel trasparente se ve por el anverso (recuadro izquierdo) y por el reverso reflejado en un espejo (recuadro derecho)

 La relación de Simetría se mantiene si alejo el espejo a una distancia indefinida.

 Durante el movimiento la imagen decrece en tamaño y los colores se desplazan hacia el rojo (efecto Doppler).

Si mi retina capta la imágen izquierda AHORA, a la derecha capta simultáneamente un instante previo.

Es un "retrospectoscopio", o el registro de un "deja vu"...

Aplicado al "Big Bang" y a la expansión acelerada del Universo descubierta hace unos 15 años, podría quizá ayudar a aclarar este dilema no resuelto aún en el apogeo de nuestra Civilización Tecnológica...

Me interesa la posibilidad de una correlación entre estas imágenes del tipo llamado "entanglement" que desde John Bell em 1964 sabemos es contraria a la lógica convencional. *- si le interesa el "Teorema de Bell", un físico de Stanford (Susskind) afirma que sólo se puede entender dibujando 3 círculos que se interceptan donde se visualiza la desigualdad que resulta: (A not B) + (B not C) >= (A not C).


La segunda foto es una espiral plana de alambre enrollado sobre un material dieléctrico

Ambos Faraday y Nicola Tesla las consideraban por separado de otras bobinas.

Entre otras cosas son antenas magnéticas. La foto de mala calidad es lo único que sobrevivió a un descalabro doméstico en que perdí la radio a Galena que usaba esa antena y otros curiosos artefactos anticuados o artesanales con propiedades sorprendentes. Con decir que la primera vez que pude escuchar una radioemisora con este receptor de "juguete" fue en modo inalámbrico , además de sin gasto de energía...

Conectado el alambre de la espiral a los polos de una pila de corriente continua, el electroimán forma dos polos opuestos en el anverso y reverso del  agujero central del disco. Los polos Norte y Sur parecen invertirse bruscamente en la circumferencia del disco.

Si invierto el sentido de la corriente se invierten los polos y cuando finalmente pasan las ondas electromagnéticas provenientes de la estación de radio A.M. este imán central "sine materia" oscila con la corriente alterna.

Lo que hay de común en los dos temas ilustrados es una superficie mínima, virtual que separa dos polaridades de simetría opuesta. Magnética en un caso y óptica en el otro.

Desde el espejo, el mensaje Da Vinci.

En construcción...

Es la relación materia/anti-materia (ej.: electrón/positrón)
¡Cuál es la imagen real y cuál la virtual? 

Poco después- o antes, los punteros coinciden en la horizontal. Depende de la simetría del objeto si pueden parecer iguales, pero un guante derecho reflejado se ve siempre como guante izquierdo (si ello existe). Además, la imagen virtual puede ser "imposible" en el mundo real (dato experimental).

Si decidimos que en el espejo no hay ejes, la orientación del objeto está en relación a algo que no se ve :
el observador.

En teoría cuántica, si el "spin" de un electrón es positivo con probabilidad 1 en la dirección del puntero real, la probabilidad de un resultado positivo en la dirección del puntero virtual depende del 1/2 ángulo entre ellos.

Esto se puede solucionar en la espiral resolviendo el problema que sigue después:

La operación necesaria es:

(25 x 13) - 289 = 36

25  y 13 son ambos sumas de dos cuadrados: 16+9 y 9+4

17 es la parte Imaginaria del producto

(4 + 3i ) x (3 + 2i)

 Por lo tanto la parte Real del producto es 6, y

36/(289+36) = aprox.   0.11,   es la probabilidad para el ángulo del número complejo (6+17i) conjugado,

 i.e (6-17i)

* Usar con precaución  

Red sinaptica en espiral. Inteligencia Artificial (A.I.)?

La espiral se hace con papel y lápiz y los números 1, 2, 3, 4, etc.
Imagen:
Cintas  trazan parábolas y luego espirales, círculos, quizas hipérbolas y otras curvas; parece gimnasia olímpica, pero es el diagrama  que se incluye...
Como puntos sinápticos me refiero a los números triangulares: 1, 10, 45, etc. que son la suma de cuadrados de otros dos números triangulares consecutivos y además son el cruce de por lo menos 3 parábolas virtuales idénticas, los resultados se encuentran en la espiral por operaciones simples como ocurre en las compuertas lógicas de un computador digital (logic gates).

Las señalo primero:

67, 45, 27,13... parte IM del producto complejo          (7+6i)(4+3i)   = 10+45i
65, 45, 29,17... son suma  de dos cuadrados 3^2+6^2 = 45 o producto (6+3i)(6-3i)= (z)(z)*
..,   45, 28,15,6... son números triangulares  o productos complejos (5+5i)(5+4i)= 5+45i
se avanza o retrocede sumando o restando (1+1i) a cada factor de un producto complejo.

A nivel del primer nodo o sinapsis:  el numero 1, la suma de cuadrados se da hacia la izquierda 1, 5, 13, 25,41, etc....El producto de  complejos consecutivos sube en arco hacia la derecha 1,7,17,31, etc.... Los números triangulares se sitúan a ambos lados de la línea media vertical 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45...

Todo bien, creo, pero un código propio basado en simetría es mucho más simple:

Si a la línea 2, 8, 18, 32, etc. la llamo S (por Simetría) y el orden desde el centro sea (X), entonces:

0) S(X) es la sucesión de números de la línea. Es una parábola con vértex en el orígen.

1) S(X) -5 = -3, 3, 13, 27, 45, 67, 93

2) S(X) -X = 1, 6, 15, 28, 45 

Las 2 últimas son parábolas iguales  a S pero con vértex desplazado del centro.

Si ésto no es el código Da Vinci, puede haber sido su mensaje de simetria...