Mandala numérico, Fibonacci y Simetría

A fines de la 2a. Guerra Mundial, la secuencia  2,8,18,32,50 , etc., es mencionada por W. Pauli al aceptar el premio Nobel, por su importancia en el sistema periódico de Mendeleiev. Por el mismo tiempo S. Ulam buscaba simetría en un huevo revuelto, despues de participar en el proyecto atómico que terminó drásticamente esa Guerra.

La relación la veo en el diagrama espiral que conocemos y que a su vez depende profundamente de
phi :  0.618033989 y  de simetría.

Gracias a Emmy Noether, simetría  es la base de la ciencia de hoy y del futuro.

Lo que sigue, es el efecto phi que ocurre en una hipérbola al tropezar su función cuadrática con cualquier cifra = N, y luego con 0.6180339 cerca del vertex.

Como digo en paginas previas, "hay un vuelco"...

N:

.••••••         ••••

        |   ノ

        |ノ              

phi:

•••••••

         |

         |

           •••••••••••
La hipérbola  x-1/x está descrita en páginas previas. (ver  imágen)
El efecto phi en este caso es una  rotación hiperbólica.

Ejercicio: longitud de arco espiral

Encontré este gráfico de orígen olvidado en mi computador:

¿se puede identificar la curva y medir sus arcos?...

SI

Yo obtengo 4.8 en el ángulo de 45 grados si R1 es 3.2 cm.

Es una espiral recíproca (hiperbólica).

Mi solución:

En esta posición el radio vertical mide +- 3.2 cm y un radio oblicuo a 45° aprox. 6.4 cm.

6.4 - 3.2^2 / 6.4 = 4.8

Aproximación descrita en página previa.

Estructuras del pensamiento

Conocer la estructura básica del diagrama que se incluye, es conveniente para utilizar su curiosa simetría en el estudio de matemáticas, geometría, física y otros temas.

Los cuatro radios perpendiculares los describo después, primero lo más reciente:

-longitud de los arcos laterales o "alas" como 1-7-17-31-49 y curvas paralelas a ésta

Demasiado fácil   :
la longitud del arco que va del 1 al 49 es                (49-1) /10 = 4.8

el arco del 6 al 30 mide                                          (30-6) / 8 = 3
10 y 8 son el doble del radio en cada caso

esta aproximación cumple con:

calza con lo que se mide con un cordel
es mayor que la distancia en linea recta y menos que el radio
la distancia entre números adjuntos es >1 al infinito

Otra formula más general : R2 - (R1)^2/R2
Ej: 4- 2^2 /4 = 3 , igual al resultado previo a este nivel

La curva es una rama de espiral hiperbólica que nunca llega a hacer contacto con su asintótica pi/2

Existe otra curva importante cuyo arco no se mide con factors de pi: el cicloide.

las coordenadas de ambas curvas (cicloide y espiral recíproca) se acoplan la x de una con la y de la otra para sumar el arco o el radio del círculo correspondiente. El cicloide es famoso por ser la trayectoria que usa el tiempo mínimo cualquier altura!!!...

Como cortar una misma longitud de arco de múltiples círculos

Es lo que ocurre en el diagrama adjunto. Una espiral recíproca tiene esta propiedad.

Los números estan a distancia fija igual a Pi/2 y cada cuadrante se puede copiar a todo el círculo  como reflejo,
Los arcos 1,17,31,49 etc, y 6,16,30,48,etc forman la parte asintotica de una espiral hiperbólica después que se cruzan sus dos ramas simétricas en la linea media vertical.
Esta observación aumenta un teorema de Pappus. que usa una espiral de Arquímedes en dos círculos a la vez para cortar un mismo arco.

Una hipérbola musical

Considere la  hipérbola :

y = x +1/x         y su conjugada
y = x -1/x.

Se relacionan con las secuencias de oro (1.618033989) , plata (2.414213562) y con la escala musical.(1.059463)

Los primeros resultados son :
     1;       0.618033989;     0.414213562;     0.302775637... se puede continuar en una secuencia que llamaré "diferente"

Son distancias desde la curva y = x- 1/x   a la izquierda de una asintótica (el eje de las y), i.e son x's negativas. Se puede reconocer que las potencias de estos números sumadas o restadas de sus propios inversos dan números enteros.
Ej. la secuencia de Lucas basada en phi y sus potencias.

Las secuencias de oro y plata son muy antiguas (miles de años). Sin embargo la secuencia "diferente" se relaciona con el diagrama que sigue de números en espiral

En el diagrama espiral cada número se puede leer como el producto de un complejo z por su conjugado z*, o, lo que es lo mismo, la suma de dos cuadrados.

A cada lado del triangular # 6 se ven el 5 y el 7, el 5 es la suma de los cuadrados de 2 y 1. Sumo a cada uno 0.302775637, obtenido de la secuencia "diferente"(vide supra), resultan los dos números cuyos cuadrados sumados dan 7.
2.302775637¨2 + 1.302775637¨2 = 7
Lo mismo vale para cualquier otros dos números vecinos a números triangulares.

Usando como solución la hipérbole todo calza, todo coincide excepto cerca del centro, ahí un par de soluciones no flanquean a un número triangular.
A ese nivel, y en relación al número 1.618033989 y al 3, es que la alineacion de números triangulares se sigue por debajo del centro en vez de hacia arriba. Hay un vuelco...