Simetría y phi

La hoja o punta de lanza en el medio del rectángulo de base 4, altura 3 que toscamente he querido dibujar,  es el espacio entre dos arcos de parábola que se cruzan.
La diagonal que va de (0,0) a (4,3) mide 5 y es lo que parece ser: el eje de simetría* (ver Errata) entre las dos curvas.
La diagonal opuesta, que va de (0,3) a (4,0)  corta las parábolas en coordenadas que son múltiplos de phi (0.6180339), o de su cuadrado (0.381966).
 El segmento de esta diagonal entre las curvas es dividido exactamente en 2 por el eje de simetría, como sucede con cualquier otra línea paralela a esta diagonal.
La curva azul es horizontal con eje en las x. La curva roja tiene como eje las y, es vertical y se abre hacia arriba, por lo que Dim la llama Cavorita (a la H.G.Wells). Ninguna
 de las dos puede ser la trayectoria de un proyectil.

Una tercera curva pasa por el punto phi : una trayectoria real de lanzamiento con tangente = 2 x 0.75 = 1.5 que irá desde (0,0) a (4,3) con v.horizontal = 5.1138114.

La distancia entre las parábolas en el cruce de las diagonales es igual a la hipotenusa del triángulo, dividida por 4.236067977 (constante para todo triángulo).

Nota: Este es un exámen básico, preliminar, que me pidió Dim Leed de la simetría de las parábolas complementarias descritas por él, en las páginas previas.

Fdo: T. Salvatierra

· curva azul y^2 = x * 2p ; ---------p = 9/8
· curva roja x^2 = y * 2 p.c ; ----------p.c = 16/6

Errata de Dim Leed: El texto no se refiere a simetría de tipo axial. Por lo tanto, para uso interno, prefiero llamar a esta diagonal :
eje central .

La phi del proyectil.

Sobre la Tierra todo movimiento está acelerado hacia abajo en una razón constante g . El componente horizontal de su velocidad (si lo hay) es también constante. Dadas estas dos condiciones toda trayectoria posible a una v horizontal dada es parte de una sola parábola, con vertex hacia arriba y que se abre hacia abajo(gravity). El Lugar Común de todos los vértices de estas trayectorias es la rama derecha de otra parábola igual, con vértex en el orígen y que se abre hacia arriba (antigravity?, Cavorita?).

Si, como hemos hecho, partimos de un triángulo fundamental de lados x = 4, y = 3 podemos dibujar aún otra parábola horizontal puramente geométrica que pasa por el apex del triángulo (4,3), desde el orígen (0,0) donde está el vertex, y se abre hacia la derecha. Su ecuación es y^2 = 2p*x.

La ecuación y = x*tan (alpha) - x^2 / 2p representa una trayectoria física, real  entre esos dos mismos puntos.

El punto (4,3) en el apex satisface las dos ecuaciones. También hay otro punto que satisface las 2 ecuaciones, y resulta universal, para cualquier triángulo inicial.

Esto significa que las dos curvas,

1)-Geométrica, con eje de simetría horizontal y
2)-Trayectoria, bajo g, con eje de simetría vertical,
se cruzan por lo menos en 2 puntos en el 1er. cuadrante. Tienen otras relaciones de simetría, etc. que no exploraré por ahora.

1) y^2 = 2(9/8)*x  ------------------   2) x* 3/2 - x^2 / (16/3)

Los puntos siguientes, son los cruces y satisfacen las ecuaciones 1) y 2)

x1 = 4                                  y1 = 3
x2 = 1.527864                      y2 = 1.854102,

pero y2 es phi veces y1. A su vez, x2 es ( phi) ^2 veces x1. Siempre !

phi  es .618033989