domingo, 10 de julio de 2011

La phi del proyectil.

Sobre la Tierra todo movimiento está acelerado hacia abajo en una razón constante g . El componente horizontal de su velocidad (si lo hay) es también constante. Dadas estas dos condiciones toda trayectoria posible a una v horizontal dada es parte de una sola parábola, con vertex hacia arriba y que se abre hacia abajo(gravity). El Lugar Común de todos los vértices de estas trayectorias es la rama derecha de otra parábola igual, con vértex en el orígen y que se abre hacia arriba (antigravity?, Cavorita?).

Si, como hemos hecho, partimos de un triángulo fundamental de lados x = 4, y = 3 podemos dibujar aún otra parábola horizontal puramente geométrica que pasa por el apex del triángulo (4,3), desde el orígen (0,0) donde está el vertex, y se abre hacia la derecha. Su ecuación es y^2 = 2p*x.

La ecuación y = x*tan (alpha) - x^2 / 2p representa una trayectoria física, real  entre esos dos mismos puntos.

El punto (4,3) en el apex satisface las dos ecuaciones. También hay otro punto que satisface las 2 ecuaciones, y resulta universal, para cualquier triángulo inicial.

Esto significa que las dos curvas,

1)-Geométrica, con eje de simetría horizontal y
2)-Trayectoria, bajo g, con eje de simetría vertical,
se cruzan por lo menos en 2 puntos en el 1er. cuadrante. Tienen otras relaciones de simetría, etc. que no exploraré por ahora.

1) y^2 = 2(9/8)*x  ------------------   2) x* 3/2 - x^2 / (16/3)

Los puntos siguientes, son los cruces y satisfacen las ecuaciones 1) y 2)

x1 = 4                                  y1 = 3
x2 = 1.527864                      y2 = 1.854102,

pero y2 es phi veces y1. A su vez, x2 es ( phi) ^2 veces x1. Siempre !

phi  es .618033989

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