Espiral y Parábola según Cavalieri (versión corregida)

Los habitantes de la isla Thera, en el mar Egeo, ca. siglo 17 A. de C. (fecha de la explosión) ya dibujaban espirales "de Arquimedes" matemáticamente correctas.

Las cónicas y en particular la parábola, se conocen bien desde Apolonio.

Cavalieri, recién en tiempos de Galileo, fué el primero en describir la relación básica entre las dos curvas. Es más famoso por dividir toda línea, área o volumen por planos paralelos. Los círculos, a  su vez los dividía en muchas circunferencias interiores, concéntricas.

El dibujo que sigue muestra radios de círculo que miden 1, 2, 3, y 4 en 4 cuadrantes. La espiral debe pasar por sus extremos a partir del mismo centro. Mientras más radios equidistantes se dibujen, más exacta resulta la espiral.

En la diagonal se ve su punto medio y el cruce phi de toda parábola

La parábola relacionada a esta espiral se puede entender como la trayectoria de un proyectil lanzado desde el centro que llega horizontalmente al extremo distal de la espiral ( a distancia 4), alcanzando una altura máxima 2 PI (3.141592 x 2).

En el caso descrito, la longitud del arco completo de la parábola y la espiral son exactamente iguales.

Es decir la distancia desde el centro al radio = 4 siguiendo la trayectoria del proyectil es igual a la distancia entre esos puntos siguiendo la espiral.

La ilustración habitual en los textos -un medio arco de la parábola (hasta el vertex solamente)- es incorrecta;  puede comprobarlo Ud. mismo... fácilmente !

Por la ecuación conocida para un arco de parábola y usando 2 PI y 2 como lados del rectángulo circunscrito se obtiene 6.766 para la curva hasta el vertex, i.e. la espiral completa es el doble (ángulo: 2 PI).

Más fascinante aún, se puede independientemente derivar el arco intermedio (ángulo: PI) de la espiral, a partir de los mismos 2 lados (2PI, 2) y 1/2 diagonal del rectángulo circunscrito. Se usa una ecuación distinta.

En este caso:

-----------------------------NUEVA ECUACIÓN--------------------
Según Pitágoras, la mitad de la diagonal es aprox. = 3.29690831.
Debo sumar (sinh -1 de PI) / PI                            = 0.59278
------------------------------------------------------------------------
=
3.8897 - es el arco de la espiral de Arquímedes cuando el radio es 2 y el ángulo es PI


Notas para la ecuación nueva : lados del rectángulo
1.- radio : distancia de un punto de la espiral al centro
2.- producto del ángulo (en radianes) y el radio

    Ejemplo:
1.5 PI es el ángulo a 3/4 de vuelta, radio en ese punto = 3
Lados del rectángulo : 3 y (4.5 PI).
  La 1/2 diagonal se calcula por el teorema de Pitágoras

    Apuntes:
En la nueva ecuación, el término que se suma a 1/2 diagonal es (sinh -1 del ángulo en radianes) dividido por la constante PI.

El resultado es correcto para cualquier punto de la espiral, incluso varias vueltas completas o fracción, etc. (esta ecuación es derivada por mí, y no he encontrado explícitamente en otra parte su comprobación).

Explore el caso de lados 1.41421356 y 3.141592.