Desde el espejo, el mensaje Da Vinci.

En construcción...

Es la relación materia/anti-materia (ej.: electrón/positrón)
¡Cuál es la imagen real y cuál la virtual? 

Poco después- o antes, los punteros coinciden en la horizontal. Depende de la simetría del objeto si pueden parecer iguales, pero un guante derecho reflejado se ve siempre como guante izquierdo (si ello existe). Además, la imagen virtual puede ser "imposible" en el mundo real (dato experimental).

Si decidimos que en el espejo no hay ejes, la orientación del objeto está en relación a algo que no se ve :
el observador.

En teoría cuántica, si el "spin" de un electrón es positivo con probabilidad 1 en la dirección del puntero real, la probabilidad de un resultado positivo en la dirección del puntero virtual depende del 1/2 ángulo entre ellos.

Esto se puede solucionar en la espiral resolviendo el problema que sigue después:

La operación necesaria es:

(25 x 13) - 289 = 36

25  y 13 son ambos sumas de dos cuadrados: 16+9 y 9+4

17 es la parte Imaginaria del producto

(4 + 3i ) x (3 + 2i)

 Por lo tanto la parte Real del producto es 6, y

36/(289+36) = aprox.   0.11,   es la probabilidad para el ángulo del número complejo (6+17i) conjugado,

 i.e (6-17i)

* Usar con precaución  

Red sinaptica en espiral. Inteligencia Artificial (A.I.)?

La espiral se hace con papel y lápiz y los números 1, 2, 3, 4, etc.
Imagen:
Cintas  trazan parábolas y luego espirales, círculos, quizas hipérbolas y otras curvas; parece gimnasia olímpica, pero es el diagrama  que se incluye...
Como puntos sinápticos me refiero a los números triangulares: 1, 10, 45, etc. que son la suma de cuadrados de otros dos números triangulares consecutivos y además son el cruce de por lo menos 3 parábolas virtuales idénticas, los resultados se encuentran en la espiral por operaciones simples como ocurre en las compuertas lógicas de un computador digital (logic gates).

Las señalo primero:

67, 45, 27,13... parte IM del producto complejo          (7+6i)(4+3i)   = 10+45i
65, 45, 29,17... son suma  de dos cuadrados 3^2+6^2 = 45 o producto (6+3i)(6-3i)= (z)(z)*
..,   45, 28,15,6... son números triangulares  o productos complejos (5+5i)(5+4i)= 5+45i
se avanza o retrocede sumando o restando (1+1i) a cada factor de un producto complejo.

A nivel del primer nodo o sinapsis:  el numero 1, la suma de cuadrados se da hacia la izquierda 1, 5, 13, 25,41, etc....El producto de  complejos consecutivos sube en arco hacia la derecha 1,7,17,31, etc.... Los números triangulares se sitúan a ambos lados de la línea media vertical 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45...

Todo bien, creo, pero un código propio basado en simetría es mucho más simple:

Si a la línea 2, 8, 18, 32, etc. la llamo S (por Simetría) y el orden desde el centro sea (X), entonces:

0) S(X) es la sucesión de números de la línea. Es una parábola con vértex en el orígen.

1) S(X) -5 = -3, 3, 13, 27, 45, 67, 93

2) S(X) -X = 1, 6, 15, 28, 45 

Las 2 últimas son parábolas iguales  a S pero con vértex desplazado del centro.

Si ésto no es el código Da Vinci, puede haber sido su mensaje de simetria...

Numeros complejos en espiral.

"El agua que sale primero hace juego con la que sale después" dijo alguien sobre la espiral de agua de una regadera giratoria.

En el grabado se ve que operaciones con números complejos dejan trazas en la espiral de números.







 1, 7, 17, 31, 49, etc., son productos (parte imaginaria) z1 z2
1, 5,13, 25, etc., son productos de z por su conjugado z*



 La tabla se basa en numeros complejos ordenados -escritos (y,x), i.e. (IM, RE):

(1,2) (2,3) (3,4) (4,5 )... etc,.

Hay muchas alineaciones más y hay más gráficos que eventualmente se verán.

  

Arquimedes integraba el area de su espiral. Mucho antes, los egipcios derivaron su famosa fórmula para el volumen de un frustum de pirámide por el mismo método. Tiene que ver con otra de estas flores místicas: "la flor de la vida".

No se si se aplica a toda espiral. Es posible que en todas haya alineaciones significativas, funciones: simples (reales) o complejas. O, por lo menos, una cierta distribución de elementos, que explique, por ejemplo, galaxias girando a velocidades inesperadas - ¿la materia oscura?

datos: alineados en espiral (azul) y radialmente (6 brazos)

El gráfico fué generado por computador en base a datos (columnas y filas de resultados).

Una pregunta abstracta:

Piénselo, la alineación doble: en espiral y radial, ocurre tanto al anotar números en un papel como al analizar por software  el resultado de operaciones con números complejos. Me impacta como si con solo escribir la lista de Supermercado de cierta manera, resultara en obtener los productos gratis.

También la alineación doble ocurre en el disco de Festos, en el mecanismo de Antikythera, en la espiral de Arquímedes,etc,. Pienso que es una propiedad estructural de la espiral, sea ésta abstracta, física o galáctica.

El siguiente gráfico es una vista polar desde arriba (ver nota) de la espiral numérica misma. Parece proyectarse a 3 dimensiones !
No sé si es precisamente el sombrero mejicano que se relaciona con la partícula de Higgs, pero sí tiene el aspecto de un "Pozo Potencial"

¿paraboloide elíptico?

1. Próxima pregunta: ¿qué exactamente dijo Anaxagoras?

Nota: El último gráfico es una proyección superior de la superficie creada por el computador en base a los números de la espiral (sin cálculos). Para asegurarme, escribí en el perímetro de un cuadrado, sólo números "1", más adentro números "2" y en el siguiente perímetro hacia el centro "3", etc.; el programa dibuja una pirámide en 3-D que se puede desplazar y mirar de distintos lados.

complejos conjugados fourier

El producto del número complejo en (3,2) y su conjugado en (3,-2) es de magnitud

|13| y ángulo 0, ó 360. 

Su dimensión se mide sobre la "línea real" de las x positivas pero 

además, el número 13 se encuentra sobre las x siguiendo la espiral 

desde el centro por 13 "unidades".

No creo útil intentar precisar todas las medidas, el castillo de naipes 

podría colapsar.

A nivel del círculo radio=1, sin embargo, ocurren cosas interesantes

¬

La lupa gira 90 grados contra-reloj y asciende.

Son 4 anotaciones por nivel. El movimiento no cambia: siempre en ascenso girando contra el reloj.

Iniciar con el asa hacia la derecha     (+1)(+1)(+1)(+1)

La lupa gira, se ve el asa en             (+1) (i) (-1) (-i)       en la primera vuelta.
Con la lupa a nivel de los ojos veo    (+1)(-1)(+1)(-1)     2 vueltas -de perfil
La lupa sobre mi cabeza, veré          (+1)(-i)(-1)(i)         1 vuelta -desde abajo

Recordando lo anterior, se puede llenar una matriz 4x4 para calcular FFT´s (Fast Fourier Transforms).

Parece haber una rotación implícita, perpendicular a la anterior, si piensa la secuencia como el acto de examinar el objeto que gira, por todas sus caras.

Espiral y Parábola según Cavalieri (versión corregida)

Los habitantes de la isla Thera, en el mar Egeo, ca. siglo 17 A. de C. (fecha de la explosión) ya dibujaban espirales "de Arquimedes" matemáticamente correctas.

Las cónicas y en particular la parábola, se conocen bien desde Apolonio.

Cavalieri, recién en tiempos de Galileo, fué el primero en describir la relación básica entre las dos curvas. Es más famoso por dividir toda línea, área o volumen por planos paralelos. Los círculos, a  su vez los dividía en muchas circunferencias interiores, concéntricas.

El dibujo que sigue muestra radios de círculo que miden 1, 2, 3, y 4 en 4 cuadrantes. La espiral debe pasar por sus extremos a partir del mismo centro. Mientras más radios equidistantes se dibujen, más exacta resulta la espiral.

En la diagonal se ve su punto medio y el cruce phi de toda parábola

La parábola relacionada a esta espiral se puede entender como la trayectoria de un proyectil lanzado desde el centro que llega horizontalmente al extremo distal de la espiral ( a distancia 4), alcanzando una altura máxima 2 PI (3.141592 x 2).

En el caso descrito, la longitud del arco completo de la parábola y la espiral son exactamente iguales.

Es decir la distancia desde el centro al radio = 4 siguiendo la trayectoria del proyectil es igual a la distancia entre esos puntos siguiendo la espiral.

La ilustración habitual en los textos -un medio arco de la parábola (hasta el vertex solamente)- es incorrecta;  puede comprobarlo Ud. mismo... fácilmente !

Por la ecuación conocida para un arco de parábola y usando 2 PI y 2 como lados del rectángulo circunscrito se obtiene 6.766 para la curva hasta el vertex, i.e. la espiral completa es el doble (ángulo: 2 PI).

Más fascinante aún, se puede independientemente derivar el arco intermedio (ángulo: PI) de la espiral, a partir de los mismos 2 lados (2PI, 2) y 1/2 diagonal del rectángulo circunscrito. Se usa una ecuación distinta.

En este caso:

-----------------------------NUEVA ECUACIÓN--------------------
Según Pitágoras, la mitad de la diagonal es aprox. = 3.29690831.
Debo sumar (sinh -1 de PI) / PI                            = 0.59278
------------------------------------------------------------------------
=
3.8897 - es el arco de la espiral de Arquímedes cuando el radio es 2 y el ángulo es PI


Notas para la ecuación nueva : lados del rectángulo
1.- radio : distancia de un punto de la espiral al centro
2.- producto del ángulo (en radianes) y el radio

    Ejemplo:
1.5 PI es el ángulo a 3/4 de vuelta, radio en ese punto = 3
Lados del rectángulo : 3 y (4.5 PI).
  La 1/2 diagonal se calcula por el teorema de Pitágoras

    Apuntes:
En la nueva ecuación, el término que se suma a 1/2 diagonal es (sinh -1 del ángulo en radianes) dividido por la constante PI.

El resultado es correcto para cualquier punto de la espiral, incluso varias vueltas completas o fracción, etc. (esta ecuación es derivada por mí, y no he encontrado explícitamente en otra parte su comprobación).

Explore el caso de lados 1.41421356 y 3.141592.