El número 5 y la Parábola

La parábola de 2 delfines en San Diego, el vuelo de una flecha y la argolla lanzada al cuello de una botella de vino, se describen usando el Número 5  y la p complementaria ya definida (página previa).

Las notas del Profe son inservibles, excepto quizá para acordarme de qué trazo es up y cuál down

Por las estrellas pentagonales se entiende el 5, traduzco después.





Problema:
Se trata de lanzar una argolla desde una distancia de 8 m que pase en ese punto a una altura de 3 m. Ahí puede estar la botella de premio, o a los 10 m (alcance, R= range) donde la argolla aterriza.

El triángulo central tiene base 4, altura 3. Tan basal 0.75

Si en la ecuación siguiente se pone 8 como x, resulta y = 3 (botella).

Si x = 10 resulta y = 0 (aterrizaje).

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--- y =  (x * tan(alpha) ) -  (x^2 / 2p) ---   (es una resta)

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alpha es ahora el ángulo de lanzamiento. Tan(alpha) = 0.75 x 5 / 2 = 1.875.  
Alpha :  61.93º .

p = 16/6 ;     p * g  =  Vhor.^2      ---- g =   9.80665  m/sec^2

Info adicional:
- con los lados 3 y 4 del triángulo central puedo calcular,

R = alcance =  4 x 5 / 2 = 10 m

Vertex=  3 * (5 * 5 / 16) = 4.6875. Es el resultado si pone la mitad del alcance,  5 = x en la ecuación.

El lugar de lanzamiento es el extremo izquierdo, donde empieza un círculo en el dibujo, de ahí se cuentan los recorridos. La parábola sigue de cerca a este arco circular, pero no es igual, por ej : llega hasta el 10 y no al 9.125 solamente.

Con todos los datos, ¿no podría alguien dibujar esta parábola?

Tiene el inicio, el alcance, el punto medio y el vertex. Además si y = 3 m de altura a distancia horizontal 8 m, es también 3 m a 2 m del lanzador. Apunte ahí * (ver Errata).

Errata del Profesor Salvatierra: ERROR. La tangente de lanzamiento 3/2 sugerida al final contradice todo lo anterior y daría por tierra con el proyectil a la distancia de 8 m. según la ecuación de trayectoria dada en ésta misma página.

La " p " complementaria de una parábola

En el diagrama se ven la "p" de Pappus y la "p" del Foco, más adelante se define la "p" complementaria.

Igual que una elipse o un círculo, la parábola se fundamenta en un triángulo.

El apex se encuentra en coordenadas (x = 4, y = 3);  es un punto de la curva.

La hipotenusa (base) del triangulo total queda dividida por su altura ( y ), en dos segmentos m y n.

m equals 2x,

n equals p como se ve en la pizarra del Profesor Salvatierra.

Se calcula:               y^2 / 2x = p ; para esta parábola, p = 9/8

El mismo trazo p a nivel del foco F llega perpendicularmente a otro punto de la curva.

El vertex 0 es un 3er punto en la curva.

La p complementaria, puede ser otra x ; en ese caso y^2 sería igual al área del triangulo central.

- corresponde a la p de una parabola basada en un triángulo central con ápex ( x = 3 , y = 4), es decir con ángulos complementarios al anterior

La p.comp se calcula:       x^2 / 2y     = 16 / 6   - tiene relación con problemas de Física.

Para postular que la Luna en realidad está cayendo a la Tierra como una manzana, Isaac Newton usó la fórmula:
X^2 / 2 r = y  ------ r es la distancia Tierra-Luna (380000 km), x es lo que avanza horizontalmente la Luna en  1 seg= 1000 m. (y) es lo que se desplazó verticalmente. Resulta apenas unos 1.315 mm.

Otro Ejemplo: 
Para que un cuerpo lanzado horizontalmente desde 3 m. de altura, llegue a 4 m de distancia se requiere que v^2 = (16/6)*g ---------( g es la constante de gravitación = 9.80665)

En el diagrama, imagine subiendo la altura y para lanzar una piedra horizontalmente que llegue justo al centro 0. Si se fija bien, verá una posible trayectoria parabólica como una tenue línea de puntos.

Nota diferida  Hay ambigüedad entre una parábola con eje horizontal y una vertical (caída libre). Tratando de aclararla descubrí que tienen 3 puntos en común en el primer cuadrante y 1 en el cuarto. Ambas cruzan la diagonal del rectángulo de coordenadas en Razón Áurea. Esta relación con el número Phi me llevó a dejar aquí algo pendiente que se retoma más adelante.

Una parábola más fácil de hacer que de decir

Esta forma de graficar una parábola fluye de todas las fórmulas, pero no la encuentro explicitada en ninguna parte, web o textos. Advertencia: quizás es un error mío.

Método

Construya un triángulo rectángulo de lados  2x * y ,  ej : 12 x 5. Será el centro neurálgico desde donde se puede calcular y construir todo.

· la tangente a la parábola, desde el apex, i.e. el punto ( x = 6, y = 5 ), corta el eje de las x en ( x = - 6, y = 0 ) y es la hipotenusa de este triángulo.

12^2 + 5^2 = 169. T es 13

( En el disco, busque el 72,  nivel 6. En el lado opuesto, el 61.

72 + 61 + (6 x 6) = 169 )

Tenemos ya cinco puntos en la curva

                · el punto ( x = 6, y = 5) y su reflejo bajo el eje
· el orígen ( x = 0, y = 0 )
· el punto ( x = p / 2, y = p ) y su reflejo bajo el eje

· p = y^2 / 2x

· p = 25 / 12