Agrimensor Imperial del Faraón

Un alto funcionario de prestigio, el agrimensor egipcio usaba sogas y cordeles con gran habilidad.

Dim Leed ha sugerido una maniobra de medición con un cordel que se puede efectuar en el plano de la Cámara del Rey y que permite obtener las proporciones y ángulos necesarios para construir la Gran Pirámide, sin cálculos.

Involucra inscribir un cuadrado en un óvalo, lo que apareja frecuentemente otras preguntas relacionadas.
La ecuación de la elipse es   x^2 / a^2 +  y^2 / b^2  = 1

La flor de 4 pétalos en el gráfico Flower Power muestra alineados números que siempre son la suma de dos cuadrados consecutivos.

En el 4 lugar está:                  4^2       +   3^2    = 25                  - dividiendo por 25, quedan
 denominadores iguales
                                             16/25    +   9/25   = 1
                                                 0.64  +    0.36  = 1                    - ecuación de un círculo de radio = 5, con el vértice de un rectángulo inscrito en  coordenadas               x = 4  ;  y = 3

Quiero cambiar la simetría de un círculo a la de una elipse, y la simetría del rectángulo a la del cuadrado.
Multiplico cruzado para encontrar numeradores iguales
                                             0.36 * 16 = 0.64 * 9 =   5.76
                                              5.76 / 16 + 5.76 / 9  =   1                     - ecuación de una elipse de radios
a =4,  b = 3, con el vértice de un cuadrado inscrito en coordenadas x = 2.4 = y = 2.4
Area del cuadrado = 23.04 = (4 * 5.76)

Ahora, hacemos los 2 cuocientes iguales y calculamos los numeradores
            0.5  +  05  =   1
            0.5 * 16    =   8
            0.5 *  9     =   4.5
                                           8 / 16  +  4.5 / 9 =  1                              -ecuación de la misma elipse con un rectángulo inscrito de área 24 y con un vértice en coordenadas x e y, iguales a las raíces cuadradas de 8 y 4.5, respectivamente.
Es el área rectangular máxima que se puede inscribir en esta elipse.

Construya la Gran Pirámide sin cálculos

No se requiere calcular nada para hacer una pirámide semejante a la Gran Pirámide, y es posible que ésto haya sido utilizado por los antigüos egipcios. Eso creo.

Sólo puedo decir que involucra un cuadrado dentro de un óvalo cuyas propiedades mágicas permiten saber a cualquier nivel las alturas y los ángulos de lo que falta por construir.

He aquí un boceto preliminar...

continuará.......

El plano perdido de la Pirámide

La disección de un frustum que muestra el dibujo, es la más probable, la más antigüa, y la más fácil de calcular y construir. Veremos la construcción después.

En la antigüa China, se daban apodos casi cariñosos a los cuerpos elementales que se forman; así, los cuerpos piramidales de las esquinas eran "caballos de luz". El problema 14 del papiro de Moscú se refiere a una de estas pirámide-esquina que a su vez es truncada.

ROMPECABEZAS del problema 14

PIEZAS.- Son de tres formas

CAJA

PILARES

ESQUINAS

Volúmenes se relacionan entre sí a partir de la CAJA por un factor que llamaremos factory de la manera siguiente,

    CAJA.-                                       = base superior * altura

CAJA * factory                           = Total de PILARES

PILARES * factory /3                      = Total de ESQUINAS

CAJA + PILARES + ESQUINAS = Volúmen del Frustum

Datos del problema 14:

                                                 a  = 4 -------lado base inferior

   b = 2 ------lado base superior

h = 6------- altura frustum

factory = 1  en este caso

CAJA = 2 * 2 *6                  = 24

     CAJA * 1 = 24----------Total de PILARES

PILARES * 1 /3  = 8----------Total de ESQUINAS

Volúmen del frustum =    24 + 24 + 8          =  56

Estoy mirando el plano perdido de la pirámide y puedo ver -con alguna dificultad, que en este caso hay

1 CAJA - 2 PILARES y 1 ESQUINA

La navaja de Occam

                    No descartar lo viejo por lo mozo, ni lo cierto por lo dudoso - Refrán popular

Considere la proporción:

Volúmen Pirámide / a^3 = Volúmen piramidión / 1^3

a = cualquier lado del polígono basal de la pirámide
a1= lado homólogo del piramidión. longitud = 1.  a1^3 = 1.

El volumen de un frustum de pirámide se calcula por regla de 3 simple!

Vol. frustum de lados superior e inferior a y b = (Vol Pirámide / a^3) * ( a^3 - b^3)

Ejemplo:

Pirámide de base rectangular    =     4 * 3
                     Altura                 =     5
Volúmen                                 =     4 * 3 * 5 / 3  = 20

a = 4 ; a^3 = 64

piramidión de base rectangular  =   1 * 0.75
                      Altura                 =    5/4 = 1.25
Volúmen                                   =  20 / 64 = 0.3125    

a1 = 1


Volúmen de un frustum a la altura de base superior =  2 * 1,5

b = 2 ; b^3 = 8

Volúmen                                    =  ¨(20 / 64)  *  ( 4^3 - 2^3)  =  0.3125 * 56 = 17.5

El retorno de Salvatierra

Le extrañará que a mis 93 años me entusiasme. Son las noticias de excavaciones en Thera (Santorini) donde han encontrado espirales de Arquímedes, matemáticamente correctas. Por ésto, vuelvo compartir mis impresiones en estos apuntes -escritos a máquina para evitar lo que ocurrió en un diálogo anterior.

En esa ocasión alcancé a decir que las dos primeras flores en el gráfico de Ms. Head muestran alineación de números poligonales centrados, tras cada vuelta,

1a flor :  1 + (1 x 4) + (2 x 4) + (3 x 4) ... etc => suma de dos cuadrados consecutivos
2a flor :  1 + (1 x 6) + (2 x 6) + (3 x 6) ... etc => diferencia de dos cubos consecutivos
En la 3a flor sin embargo, Amy nos dicta que cada término alineado sea el producto de 2 números consecutivos, i.e un número oblongo. Esto  ocurrirá cada media vuelta y a lo largo de un diámetro entero (no solo un radio como en las otras flores).              

                                                                cont...

CAPITULO IV - ¡¡¡ LA FUERZA EXPLOSIVA DE UNA IDEA !!!