Donde encontrar el tiempo propio (Tau).

En la hipérbola que se muestra, velocidades relativistas se leen en la pendiente x/y. Eso da acceso a una fuerte simplificación de, por ejemplo, los símbolos de Christoffel en la métrica de Schwarzschild para un agujero negro y, creo, al cálculo de Energía (Hamilton) en una órbita circular del mismo.

hipérbolas x+1/x   e      y^2 – x^2 = 2

En el punto mínimo C en (1,2), la velocidad es 0.5 y el tiempo propio está escrito en el gráfico. Un punto en reposo en B evoluciona en el tiempo hasta que llega verticalmente a la otra hipérbola a distancia = tau = tiempo propio y a velocidad  constante, la misma distancia desde B al punto D.

(El punto B representa 1/x en todos los casos pero aquí 1/x= x , i.e 1=1.)

Además, la distancia desde el punto C al orígen (AC=√5) se recorre en Tau segundos con una cierta "velocidad" cuyo cuadrado resulta ser el producto de las distancias al foco de la hipérbola
x^2 – y^2 = 1
en coordenadas de esta curva :
sinhw (momentum) y coshw (energía)
el cuociente sinhw/coshw es tanhw, es decir la velocidad relativista que obtuvimos previamente al inicio.