Simetría y phi

La hoja o punta de lanza en el medio del rectángulo de base 4, altura 3 que toscamente he querido dibujar,  es el espacio entre dos arcos de parábola que se cruzan.
La diagonal que va de (0,0) a (4,3) mide 5 y es lo que parece ser: el eje de simetría* (ver Errata) entre las dos curvas.
La diagonal opuesta, que va de (0,3) a (4,0)  corta las parábolas en coordenadas que son múltiplos de phi (0.6180339), o de su cuadrado (0.381966).
 El segmento de esta diagonal entre las curvas es dividido exactamente en 2 por el eje de simetría, como sucede con cualquier otra línea paralela a esta diagonal.
La curva azul es horizontal con eje en las x. La curva roja tiene como eje las y, es vertical y se abre hacia arriba, por lo que Dim la llama Cavorita (a la H.G.Wells). Ninguna
 de las dos puede ser la trayectoria de un proyectil.

Una tercera curva pasa por el punto phi : una trayectoria real de lanzamiento con tangente = 2 x 0.75 = 1.5 que irá desde (0,0) a (4,3) con v.horizontal = 5.1138114.

La distancia entre las parábolas en el cruce de las diagonales es igual a la hipotenusa del triángulo, dividida por 4.236067977 (constante para todo triángulo).

Nota: Este es un exámen básico, preliminar, que me pidió Dim Leed de la simetría de las parábolas complementarias descritas por él, en las páginas previas.

Fdo: T. Salvatierra

· curva azul y^2 = x * 2p ; ---------p = 9/8
· curva roja x^2 = y * 2 p.c ; ----------p.c = 16/6

Errata de Dim Leed: El texto no se refiere a simetría de tipo axial. Por lo tanto, para uso interno, prefiero llamar a esta diagonal :
eje central .

La phi del proyectil.

Sobre la Tierra todo movimiento está acelerado hacia abajo en una razón constante g . El componente horizontal de su velocidad (si lo hay) es también constante. Dadas estas dos condiciones toda trayectoria posible a una v horizontal dada es parte de una sola parábola, con vertex hacia arriba y que se abre hacia abajo(gravity). El Lugar Común de todos los vértices de estas trayectorias es la rama derecha de otra parábola igual, con vértex en el orígen y que se abre hacia arriba (antigravity?, Cavorita?).

Si, como hemos hecho, partimos de un triángulo fundamental de lados x = 4, y = 3 podemos dibujar aún otra parábola horizontal puramente geométrica que pasa por el apex del triángulo (4,3), desde el orígen (0,0) donde está el vertex, y se abre hacia la derecha. Su ecuación es y^2 = 2p*x.

La ecuación y = x*tan (alpha) - x^2 / 2p representa una trayectoria física, real  entre esos dos mismos puntos.

El punto (4,3) en el apex satisface las dos ecuaciones. También hay otro punto que satisface las 2 ecuaciones, y resulta universal, para cualquier triángulo inicial.

Esto significa que las dos curvas,

1)-Geométrica, con eje de simetría horizontal y
2)-Trayectoria, bajo g, con eje de simetría vertical,
se cruzan por lo menos en 2 puntos en el 1er. cuadrante. Tienen otras relaciones de simetría, etc. que no exploraré por ahora.

1) y^2 = 2(9/8)*x  ------------------   2) x* 3/2 - x^2 / (16/3)

Los puntos siguientes, son los cruces y satisfacen las ecuaciones 1) y 2)

x1 = 4                                  y1 = 3
x2 = 1.527864                      y2 = 1.854102,

pero y2 es phi veces y1. A su vez, x2 es ( phi) ^2 veces x1. Siempre !

phi  es .618033989

En busca de la Parábola Universal-

En mi celular veo 2 parábolas iguales, con distinta orientación, que se cruzan en el vertex de una de ellas. Esto, en respuesta a la ecuación de trayectoria simplificada que reitero aquí:

X*tan(alpha) - X^2 / 2p

2p = 16/3 es constante para una "familia de parábolas", implica velocidad horizontal constante, tal que p* g = v.horiz^2

En la página anterior el Sr. Salvatierra indica que yo me equivoqué de trayectoria. Tiene razón: me equivoqué de trayectoria, pero, curiosamente, no de parábola.

Como no todos tienen un celular con gráficos, las trayectorias que confundí las dibujé ahora en un papel, con una sóla parábola:

La flecha roja indica el aterrizaje prematuro que ocurre si, por error, la tangente de lanzamiento es 3/2.

La flecha verde muestra la curva que pasa por el blanco (y=3) en (x=8) y (x=2)  con tangente de lanzamiento 1.875

Los vértices de ambas curvas son puntos de una sola parábola "Universal" que se forma como el Lugar Común de todos los vértices de todas las trayectorias posibles a una velocidad horizontal constante dada.

Descripción:

No se nota en el Dibujo pero la línea de las x es en realidad una ranura, un corte por el que pasa mayor o menor parte de una parábola recortada de otro papel. Lo que "asoma" de ella en el primer cuadrante forma trayectorias diferentes, pero es una parábola única.

La posición inicial de estas dos parábolas iguales es: unidas por el vertex en el centro 0 de coordenadas, abriéndose una hacia arriba y la inferior hacia abajo.

La curva abierta hacia abajo se desplaza en el sentido de la tangente al borde izquierdo -que queda siempre adosado al orígen, apareciendo su cúpula como trayectoria sobre el eje positivo de las x, cuyo vertex siempre será también un punto de su propia imagen abierta hacia arriba.

Los términos de la Ecuación de trayectoria convencional insertos por separado en un programa gráfico le mostrará:

·Una recta tangente al inicio de la curva

·Una parábola con vértice en el origen y que se abre hacia arriba

·Una trayectoria horizontal para cada ángulo de lanzamiento.

Todas estas trayectorias horizontales son partes de la "Parábola Universal"

Si ésto se relaciona o nó con la curva que describen átomos emitidos a una misma velocidad horizontal en los Laboratorios de Física, lo dejo para mejores cabezas, por temor a equivocarme.

El número 5 y la Parábola

La parábola de 2 delfines en San Diego, el vuelo de una flecha y la argolla lanzada al cuello de una botella de vino, se describen usando el Número 5  y la p complementaria ya definida (página previa).

Las notas del Profe son inservibles, excepto quizá para acordarme de qué trazo es up y cuál down

Por las estrellas pentagonales se entiende el 5, traduzco después.





Problema:
Se trata de lanzar una argolla desde una distancia de 8 m que pase en ese punto a una altura de 3 m. Ahí puede estar la botella de premio, o a los 10 m (alcance, R= range) donde la argolla aterriza.

El triángulo central tiene base 4, altura 3. Tan basal 0.75

Si en la ecuación siguiente se pone 8 como x, resulta y = 3 (botella).

Si x = 10 resulta y = 0 (aterrizaje).

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--- y =  (x * tan(alpha) ) -  (x^2 / 2p) ---   (es una resta)

-----------------------------------------------------------------------

alpha es ahora el ángulo de lanzamiento. Tan(alpha) = 0.75 x 5 / 2 = 1.875.  
Alpha :  61.93º .

p = 16/6 ;     p * g  =  Vhor.^2      ---- g =   9.80665  m/sec^2

Info adicional:
- con los lados 3 y 4 del triángulo central puedo calcular,

R = alcance =  4 x 5 / 2 = 10 m

Vertex=  3 * (5 * 5 / 16) = 4.6875. Es el resultado si pone la mitad del alcance,  5 = x en la ecuación.

El lugar de lanzamiento es el extremo izquierdo, donde empieza un círculo en el dibujo, de ahí se cuentan los recorridos. La parábola sigue de cerca a este arco circular, pero no es igual, por ej : llega hasta el 10 y no al 9.125 solamente.

Con todos los datos, ¿no podría alguien dibujar esta parábola?

Tiene el inicio, el alcance, el punto medio y el vertex. Además si y = 3 m de altura a distancia horizontal 8 m, es también 3 m a 2 m del lanzador. Apunte ahí * (ver Errata).

Errata del Profesor Salvatierra: ERROR. La tangente de lanzamiento 3/2 sugerida al final contradice todo lo anterior y daría por tierra con el proyectil a la distancia de 8 m. según la ecuación de trayectoria dada en ésta misma página.

La " p " complementaria de una parábola

En el diagrama se ven la "p" de Pappus y la "p" del Foco, más adelante se define la "p" complementaria.

Igual que una elipse o un círculo, la parábola se fundamenta en un triángulo.

El apex se encuentra en coordenadas (x = 4, y = 3);  es un punto de la curva.

La hipotenusa (base) del triangulo total queda dividida por su altura ( y ), en dos segmentos m y n.

m equals 2x,

n equals p como se ve en la pizarra del Profesor Salvatierra.

Se calcula:               y^2 / 2x = p ; para esta parábola, p = 9/8

El mismo trazo p a nivel del foco F llega perpendicularmente a otro punto de la curva.

El vertex 0 es un 3er punto en la curva.

La p complementaria, puede ser otra x ; en ese caso y^2 sería igual al área del triangulo central.

- corresponde a la p de una parabola basada en un triángulo central con ápex ( x = 3 , y = 4), es decir con ángulos complementarios al anterior

La p.comp se calcula:       x^2 / 2y     = 16 / 6   - tiene relación con problemas de Física.

Para postular que la Luna en realidad está cayendo a la Tierra como una manzana, Isaac Newton usó la fórmula:
X^2 / 2 r = y  ------ r es la distancia Tierra-Luna (380000 km), x es lo que avanza horizontalmente la Luna en  1 seg= 1000 m. (y) es lo que se desplazó verticalmente. Resulta apenas unos 1.315 mm.

Otro Ejemplo: 
Para que un cuerpo lanzado horizontalmente desde 3 m. de altura, llegue a 4 m de distancia se requiere que v^2 = (16/6)*g ---------( g es la constante de gravitación = 9.80665)

En el diagrama, imagine subiendo la altura y para lanzar una piedra horizontalmente que llegue justo al centro 0. Si se fija bien, verá una posible trayectoria parabólica como una tenue línea de puntos.

Nota diferida  Hay ambigüedad entre una parábola con eje horizontal y una vertical (caída libre). Tratando de aclararla descubrí que tienen 3 puntos en común en el primer cuadrante y 1 en el cuarto. Ambas cruzan la diagonal del rectángulo de coordenadas en Razón Áurea. Esta relación con el número Phi me llevó a dejar aquí algo pendiente que se retoma más adelante.