" Una catarata Adimensional "

En un lugar ficticio, imaginado por nuestro dibujante, ocurren sorpresas como viajes en el tiempo, adquisición de poderes inmateriales y otras paradojas.

La última página me dejó la misma sensación, con la identidad numérica entre una distancia y un tiempo, sistemas de unidades entremezclados, etc. y aún así poder calcular el valor de GM que es nada menos que la Masa del Sol (=2 x 10^30) x G (= 6.67 x 10^(-11))

Kepler estableció ciertas conexiones geométricas en las órbitas de los planetas que conocía por años de observación, por él mismo y su antecesor T.Brahe.

Newton lo sigue y afirma que la constante de Kepler = R^3/T^2 es igual a GM con sólo multiplicar por (2PI)^2.

A las varias maneras de calcular este parámetro gravitacional  agrego una que procede de las páginas previas

R  p  g = GM

Ej;

R = 1.496 x 10^11
p  = Ksis^2 / 2R (página anterior)
g  = 9.80665

En cuanto a la velocidad en cualquier punto de la órbita terrestre, se puede saber de varias maneras que deben calzar con el método de Lagrange.

En una órbita dada la energía total constante es la suma de las energías (-) potencial y (+) kinética en un punto dado. La velocidad al cuadrado se despeja de la E kinética.

Más fácil, en perihelio (Enero), la v media según NASA: 107229 km/hr  al cuadrado, se divide primero por el radio al Sol de interés y se multiplica por el radio al otro foco:

(107229^2 / 1.471) x 1.521 =  v ^2 . En el punto más cercano al Sol de la Orbita v es mayor que la v media.

Lagrange además definió los puntos de órbitas matemáticas que llevan su nombre. Recientemente se detectó un Troyano que precede a la Tierra en nuestra misma órbita.

El metro como unidad de longitud es realmente un arco de elipse (de meridiano) que prefirió Lagrange sobre la longitud de un péndulo, al tiempo que Napoleón regresaba de su famosa siesta (nap) en la Cámara Real de la Gran Pirámide, dispuesto a tomar el poder.

Ver Addendum

Neptuno rige el Sistema Solar. ¿Mito o realidad?

 distanciaplaneta / 0.5g = t^2

 t x velocidadplaneta     = K sis .      -----Constante para todo el Sistema Solar.

Curiosamente, esta constante K sis - una distancia en m.-, es exactamente igual -numéricamente - al período (año) de Neptuno, en segundos.

Se usa la distancia media al Sol del planeta, por ej. la distancia al Sol de la Tierra en el Equinoccio:

1.496 x 10^11 m.

g = 9.80665 m/seg^2  es lo que aparece en la ecuación, en todos los casos.

... continuará

Si el Sol fuera una Manzana

Lo anterior es una fórmula empírica, imaginaria y geocéntrica.
Se calcula lo que demora una manzana en caer desde el Sol a la Tierra ubicada en cualquier órbita del Sistema Solar, en caída libre. 


-la distancia al Sol es lo que determina la velocidad orbital de todo planeta

-en el tiempo que cae la manzana bajo g= 9.80665 hasta su nivel, todo planeta recorre una misma
distancia en su órbita= Ksis 

- en el sistema métrico esta distancia es igual al año de Neptuno en segs.


                                 ------------------------------------------------------------

Kepler vs Newton

T es el tiempo en que un planeta recorre su órbita, T / (2 PI) es el tiempo en que el planeta recorre una distancia igual al radio de su órbita (un radián). PI = 3.1416

Lema:

En un año de Neptuno una manzana en caída libre llega a la Tierra desde un altura igual a...

Guniversal x MasadelSol  en metros  ----        a la Isaac Newton

Neptuno recorre un radián en su órbita en el tiempo que cae una manzana a la Tierra en caída libre desde...

Constante de Kepler  en metros.          ----- Kepler fue anterior a Newton

                                            -------------------------------------------------------

Todo ésto es solamente mi idea de porqué (?):


Un (año de Neptuno)^2 x 9.80665 / 2) = GM en m.

Un ((año de Neptuno) / 2PI)^2 x 9.80665 = constante de Kepler en m. x 2 (corregida)


Otra propuesta: La velocidad de cada planeta en su órbita depende de su distancia al Sol.
La Tierra puede estar desde 1.471 x 10^11 m.  a 1.521 x 10^11 m. del Sol- su velocidad cambia...

¿ me servirá la caída de la manzana para calcularla?

Kepler, con los pies en la Tierra... en órbita

La Constante de Kepler:  K =  R^3 / T^2   se puede usar para trayectorias de lanzamiento sobre la Tierra.

Primero, imaginé un homúnculo en el punto phi  que atrapa la piedra lanzada horizontalmente desde altura 3 m. y la vuelve a lanzar horizontalmente para completar lo que falta de la distancia horizontal total 4 m. OK., pero es al revés.

Recuerde el símil correcto:

en el punto phi = 3 x 0.618034 un homúnculo atrapa la piedra,

la relanza horizontalmente para que llegue a 4 m. más allá de su posición.

Ahora, todo resulta análogo al problema astronómico.


Un año Tierra por 0.7233^1.5 es igual al año Venus porque 0.7233 es el cuociente entre sus órbitas.

La velocidad lineal de la Tierra es 107229 km/hr.; divida por la raíz cuadrada de 0.7233 para saber la de Venus. (aprox. 126000).

En nuestro caso, la velocidad horizontal para llegar de altura 3 a distancia 4 es, según Salvatierra :

5.113811364.

Divido por raíz cuadrada de 0.61804, resulta aprox. :

6.505 para el punto phi, ( i.e, mayor velocidad en la órbita más cerca de la Tierra (o del Sol)).

La T de la fórmula de Kepler es período, no tiempo, por lo que:

 2 Pi x 3 / 5.1138... para una altura 3.  Multiplico el resultado por 0.6180339^1.5 para el punto phi:

período, altura 3                =   3.686009
período, altura 3 x 0.618... =   1.790915


Finalmente, el cubo de la altura dividido por el cuadrado del período da una constante de Kepler local, igual en ambos casos.

Notas:

- *elevar un número a potencia 1.5 es multiplicarlo por su propia raíz cuadrada
- con los radios ecuatorial y polar de la Tierra hice este mismo ejercicio y... =>  obtuve 1/2 Radio de Curvatura a nivel del Polo, al dividir por g el cuadrado de la velocidad horizontal; además esta velocidad es la mitad de la velocidad de escape del planeta Tierra
- compare el cálculo de p en un parábola y radio de curvatura en una elipse.
-

La razón divina de una Parábola

Phi, o sección áurea, es un factor Universal  en toda Parábola.
Además es un factor para todos los puntos de una misma Parábola.

Se cumple también en la parte de una elipse próxima al vértex del eje mayor, por lo que se aproxima una trayectoria de proyectil a una parábola, siendo en realidad una elipse con otro foco cerca del centro de la Tierra.

En términos prácticos, me encuentro siempre haciendo lo siguiente, cada vez que veo una parábola:

- trazo una recta desde el vértex a cualquier punto de la curva
- con este trazo como diagonal, completo un rectángulo (o cuadrado) con el eje de simetría
- la diagonal opuesta queda dividida por la parábola en media y extrema razón  Phi : 1.6180339

Parece importante, estará de acuerdo, y fácil de comprobar con la ecuación correcta.

No puedo predecir la conducta ética de Académicos, pero tengo la certeza y alegría que esta noción será válida en todo el mundo, pronto.

En este momento, no se menciona. Me parece interesante incluso para otros temas como la respuesta de las plantas a la gravedad y temas de Embriología, Física, Astronomía, etc.

Leslie Olavarría, autor del hallazgo.
Publicado por cortesía del Blog.

Arimaspi. Las temibles gentes con un solo ojo

Arimaspi, "un ojo" en idioma escita, es el nombre que da Herodoto a una tribu de nómades del Asia Central.

Hay una fuente que los menciona antes y Estrabón (mucho después) critica a los embajadores de Alejandro Magno en India, también por haber perpetuado ésta y otras fábulas.

¿Quiénes son? Hasta hoy no se sabe. Un chino de ésa época lo habría entendido como el término metafórico que su cultura usaba para designar a los rudos jinetes que asolaban sus fronteras más allá del Río Amarillo - a pesar de la Gran Muralla.

Hsyung-Nu (hunos?), Yue-Chi, Wussun hacían y rompían alianzas que desembocaban periódicamente en masivas migraciones de hordas a caballo.

Los refinados chinos, usaban este sutil sarcasmo para describir a tribus que solo tenían un "ojo" para la guerra, deportes y pillaje. Les faltaba otro "ojo" para objetivos intelectuales, científicos y literarios.

Otra "fábula" en Asia Central, le valió a Herodoto el apelativo de "fantasioso".
Después de describir correctamente un animal y sus costumbres, va y lo llama hormiga(myrmex).

Hormigas guardando pepitas de oro en sus cuevas, del tamaño de  un zorro, ja jajaja.

Solo en tiempos recientes alguien se dió cuenta que las marmotas que pululan en cuevas y túneles en los cerros del Asia Central y a lo largo de la Ruta de la Seda, responden exactamente a la descripción, pero no así al nombre. Una traducción española de Marco Polo, incorrectamente, las llama "ratas del Faraón".

En esos místicos parajes no faltan montañas repletas de oro o jade, volcanes y lava, glaciares; ríos que desaparecen. Pero sobre todo hay polvo, que a veces recubre ciudades abandonadas y enturbia o anega los ríos. Providencialmente también el Asia Central alberga y quizá haya sido la cuna ancestral de los más bellos caballos y asnos, también camellos. Y, por supuesto : nómadas.

Un tercer equívoco en Herodoto pasa más cerca de nuestros temas, la descripción de la Gran Pirámide en Giza: el cuadrado de la altura vertical es igual al área de una cara. Esto implica que el coseno del ángulo basal(alpha) es phi = 0.6180339 y tan(alpha)= 1.27201965
La opinión convencional es sekhet = 5 palmos 2 digitos. Equivale a tan = 28/22 , compare.

Petrie considera dentro del margen de error estas alternativas.

Nota: 5 palmos 2 dígitos = 20 dígitos + 2 dígitos.-------------Un cúbito real = 28 dígitos

sekhet =  1/tan(alpha) = 22/28 = sin(alpha)

Dragones en la cacha de la Espada de Teseo

Teseo era un Erecteida. También su padre Egeo y el primo inventor, Dédalo. No se menciona que tuvieran cuerpo de dragón o serpiente de la cintura para abajo, como era el caso de su epónimo y antepasado Erecteo.

Atenas fue remotamente llamada Cecropia en honor a Cecrops ( cigarra ), el primer Rey/Serpiente que, sin embargo, no era pariente de los otros dragones ni de autóctonos, o de los Gigantes que tenían cada pierna en forma de serpiente.

Para quien busque explicación genética de estos engendros, informo que se conoce la cripta de Cecrops en el Acrópolis y bastaría solicitar una exhumación. ¡Buena suerte!

Prefiero pensar que siendo Cecrops un Egipcio que trajo los primeros principios de Civilización, aquí hay un simbolismo que calza con el tema recurrente de este Blog : espirales numéricas.

Un Sr. Luquet en 1929 atribuye a adornos y dibujos "ajedrezados" la propiedad de sugerir geometría y progresiones numéricas que pueden estar en el remoto orígen también del lenguaje.

Muchos otros, antes y después, han acariciado esta idea con variantes.

Flores, dragones, choapinos, pinturas rupestres. Pero, mucho, mucho antes la Naturaleza misma abunda en espirales que van desde Galaxias hasta el recorrido de partículas en un campo electromagnético. No solo en estructuras vivas ocurre Phi sino también en formas geométricas puras (espirales, elipses, parábolas, etc.) y  como hemos visto, en fenómenos físicos (trayectorias en caída libre).

Dejemos éso... Volviendo a Teseo, llegado a ser un jóven vigoroso. se dirige a Atenas con lo único que conoce de su padre: una Espada y sandalias (?). La empuñadura tiene dragones o serpientes enroscadas como ornamento, el símbolo Erecteida.

El impetuoso rey Egeo mientras tanto había casado con la hechicera Medea -asesina de sus propios hijos por vengarse de Jasón, el Argonauta. Esto complica la sucesión al trono para Teseo y debe ir primero a dar muerte al Minotauro en Creta.

Vuelve victorioso pero olvida cambiar las velas de su barco para anunciar a Egeo su triunfo, por lo que el Rey que divisa los barcos desde un acantilado, piensa lo peor y se arroja al mar que lleva su nombre. Quizá Egeo era impetuoso después de todo.

Voltaire creía que la era de Cecrops fué ca. 1500 A. de C. ; una Guía de Turismo Moderna ca. 1400 A. de C. Los llamados mármoles de Arundel mencionan a estos Reyes de Atenas y hasta la Guerra de Troya, cuando reinaba un hijo de Teseo.

La descripción de los Dragones dada aquí, no difiere en nada de la de Fo-Hi, el Dragón Chino, inventor de los primeros 8 Trigramas del I-Ching.

Phi y un Rombo entre 2 arcos en forma de "hoja".

En el dibujo vemos lo que parece una hoja con un eje diagonal. La curva azul por arriba de la diagonal "c" es una parábola basada en un triángulo como hacían los griegos -Apolonio, Pappus, para ver sus propiedades.  ( ej.: en cualquier punto de una parábola la subtangente mide 2 x, y la subnormal = p.)

Esta curva es horizontal, su eje es las x, el vértex es el origen. Su triángulo basico está por debajo del eje central "c". El eje "c" divide el área de la hoja en 2, y el área de la hoja es 1/3 del rectángulo.

Comparte la diagonal "c" por arriba e izquierda, el triángulo complementario al anterior y su parábola asociada roja está por debajo; es vertical, se abre hacia arriba y su eje es el de las y. Esta parábola se puede invertir por rotación como trayectoria de un proyectil que llega al ápex desde el origen, con la tangente de lanzamiento necesaria: el doble de la tan basal del triángulo.

La diagonal opuesta, que sube hacia la izquierda, llamemos anti-c , corta las parábolas y el eje en 3 puntos equidistantes. Una paralela a anti-c también hará lo mismo.

Dibuje el gráfico sin cálculo ni mediciones:

El Rombo
-trace una cruz vertical/horizontal en que ambos largueros diferentes se dimidien mutuamente
-una los extremos formando un rombo perfecto
-al lado superior derecho llamaremos pié , es colineal con anti-c en su parte media
-con una cuerda, mida el pié y siga por dos lados más recorriendo el perímetro del rombo
Las diagonales
-ponga la cuerda con el pié como base, y el doble como altura en ángulo recto.
-asegure: lado largo = doble lado corto, y ángulo entre ellos = 90º.
- complete un triángulo con la cuerda y corte lo que sobre. Si todo está bien, corte el pié.
- hecho ésto, lado largo + hipotenusa miden en la cuerda una diagonal del rectángulo.

Ponga el centro de la cuerda en el punto medio del pié del rombo y extiéndala en ambas direcciones a lo largo de "c" y anti-c .
Complete el rectángulo y los ejes x e y.

La Hoja
Los 4 vértices del rombo son puntos en las curvas, 2 y 2, sup. e inf. El ápex y el orígen son comunes a ambas. Ya hay cuatro puntos en cada curva.

Punto extra. En toda parábola, si x = Latus Rectum, entonces x = y = 2p = LR
Si en la cruz el cuociente Vert/horiz = 3/4, entonces a 3/4 de la altura del rectángulo se encuentra y = x en la curva superior.

Hemos dicho que trasformar la parábola griega en su complementaria como ha hecho Ud., permite invertir esta última, girándola alrededor del centro del rectángulo ( inténtelo ), convirtiéndola en una trayectoria real, física.

Preguntas para nuestros lectores alienígenas y otros interesados:

¿Dónde está g?
¿Dónde está Phi?
¿Se puede transformar entelequias en descripción de fenómenos de la realidad?

Simetría y phi

La hoja o punta de lanza en el medio del rectángulo de base 4, altura 3 que toscamente he querido dibujar,  es el espacio entre dos arcos de parábola que se cruzan.
La diagonal que va de (0,0) a (4,3) mide 5 y es lo que parece ser: el eje de simetría* (ver Errata) entre las dos curvas.
La diagonal opuesta, que va de (0,3) a (4,0)  corta las parábolas en coordenadas que son múltiplos de phi (0.6180339), o de su cuadrado (0.381966).
 El segmento de esta diagonal entre las curvas es dividido exactamente en 2 por el eje de simetría, como sucede con cualquier otra línea paralela a esta diagonal.
La curva azul es horizontal con eje en las x. La curva roja tiene como eje las y, es vertical y se abre hacia arriba, por lo que Dim la llama Cavorita (a la H.G.Wells). Ninguna
 de las dos puede ser la trayectoria de un proyectil.

Una tercera curva pasa por el punto phi : una trayectoria real de lanzamiento con tangente = 2 x 0.75 = 1.5 que irá desde (0,0) a (4,3) con v.horizontal = 5.1138114.

La distancia entre las parábolas en el cruce de las diagonales es igual a la hipotenusa del triángulo, dividida por 4.236067977 (constante para todo triángulo).

Nota: Este es un exámen básico, preliminar, que me pidió Dim Leed de la simetría de las parábolas complementarias descritas por él, en las páginas previas.

Fdo: T. Salvatierra

· curva azul y^2 = x * 2p ; ---------p = 9/8
· curva roja x^2 = y * 2 p.c ; ----------p.c = 16/6

Errata de Dim Leed: El texto no se refiere a simetría de tipo axial. Por lo tanto, para uso interno, prefiero llamar a esta diagonal :
eje central .

La phi del proyectil.

Sobre la Tierra todo movimiento está acelerado hacia abajo en una razón constante g . El componente horizontal de su velocidad (si lo hay) es también constante. Dadas estas dos condiciones toda trayectoria posible a una v horizontal dada es parte de una sola parábola, con vertex hacia arriba y que se abre hacia abajo(gravity). El Lugar Común de todos los vértices de estas trayectorias es la rama derecha de otra parábola igual, con vértex en el orígen y que se abre hacia arriba (antigravity?, Cavorita?).

Si, como hemos hecho, partimos de un triángulo fundamental de lados x = 4, y = 3 podemos dibujar aún otra parábola horizontal puramente geométrica que pasa por el apex del triángulo (4,3), desde el orígen (0,0) donde está el vertex, y se abre hacia la derecha. Su ecuación es y^2 = 2p*x.

La ecuación y = x*tan (alpha) - x^2 / 2p representa una trayectoria física, real  entre esos dos mismos puntos.

El punto (4,3) en el apex satisface las dos ecuaciones. También hay otro punto que satisface las 2 ecuaciones, y resulta universal, para cualquier triángulo inicial.

Esto significa que las dos curvas,

1)-Geométrica, con eje de simetría horizontal y
2)-Trayectoria, bajo g, con eje de simetría vertical,
se cruzan por lo menos en 2 puntos en el 1er. cuadrante. Tienen otras relaciones de simetría, etc. que no exploraré por ahora.

1) y^2 = 2(9/8)*x  ------------------   2) x* 3/2 - x^2 / (16/3)

Los puntos siguientes, son los cruces y satisfacen las ecuaciones 1) y 2)

x1 = 4                                  y1 = 3
x2 = 1.527864                      y2 = 1.854102,

pero y2 es phi veces y1. A su vez, x2 es ( phi) ^2 veces x1. Siempre !

phi  es .618033989

En busca de la Parábola Universal-

En mi celular veo 2 parábolas iguales, con distinta orientación, que se cruzan en el vertex de una de ellas. Esto, en respuesta a la ecuación de trayectoria simplificada que reitero aquí:

X*tan(alpha) - X^2 / 2p

2p = 16/3 es constante para una "familia de parábolas", implica velocidad horizontal constante, tal que p* g = v.horiz^2

En la página anterior el Sr. Salvatierra indica que yo me equivoqué de trayectoria. Tiene razón: me equivoqué de trayectoria, pero, curiosamente, no de parábola.

Como no todos tienen un celular con gráficos, las trayectorias que confundí las dibujé ahora en un papel, con una sóla parábola:

La flecha roja indica el aterrizaje prematuro que ocurre si, por error, la tangente de lanzamiento es 3/2.

La flecha verde muestra la curva que pasa por el blanco (y=3) en (x=8) y (x=2)  con tangente de lanzamiento 1.875

Los vértices de ambas curvas son puntos de una sola parábola "Universal" que se forma como el Lugar Común de todos los vértices de todas las trayectorias posibles a una velocidad horizontal constante dada.

Descripción:

No se nota en el Dibujo pero la línea de las x es en realidad una ranura, un corte por el que pasa mayor o menor parte de una parábola recortada de otro papel. Lo que "asoma" de ella en el primer cuadrante forma trayectorias diferentes, pero es una parábola única.

La posición inicial de estas dos parábolas iguales es: unidas por el vertex en el centro 0 de coordenadas, abriéndose una hacia arriba y la inferior hacia abajo.

La curva abierta hacia abajo se desplaza en el sentido de la tangente al borde izquierdo -que queda siempre adosado al orígen, apareciendo su cúpula como trayectoria sobre el eje positivo de las x, cuyo vertex siempre será también un punto de su propia imagen abierta hacia arriba.

Los términos de la Ecuación de trayectoria convencional insertos por separado en un programa gráfico le mostrará:

·Una recta tangente al inicio de la curva

·Una parábola con vértice en el origen y que se abre hacia arriba

·Una trayectoria horizontal para cada ángulo de lanzamiento.

Todas estas trayectorias horizontales son partes de la "Parábola Universal"

Si ésto se relaciona o nó con la curva que describen átomos emitidos a una misma velocidad horizontal en los Laboratorios de Física, lo dejo para mejores cabezas, por temor a equivocarme.

El número 5 y la Parábola

La parábola de 2 delfines en San Diego, el vuelo de una flecha y la argolla lanzada al cuello de una botella de vino, se describen usando el Número 5  y la p complementaria ya definida (página previa).

Las notas del Profe son inservibles, excepto quizá para acordarme de qué trazo es up y cuál down

Por las estrellas pentagonales se entiende el 5, traduzco después.





Problema:
Se trata de lanzar una argolla desde una distancia de 8 m que pase en ese punto a una altura de 3 m. Ahí puede estar la botella de premio, o a los 10 m (alcance, R= range) donde la argolla aterriza.

El triángulo central tiene base 4, altura 3. Tan basal 0.75

Si en la ecuación siguiente se pone 8 como x, resulta y = 3 (botella).

Si x = 10 resulta y = 0 (aterrizaje).

--------------------------------------------------------------

--- y =  (x * tan(alpha) ) -  (x^2 / 2p) ---   (es una resta)

-----------------------------------------------------------------------

alpha es ahora el ángulo de lanzamiento. Tan(alpha) = 0.75 x 5 / 2 = 1.875.  
Alpha :  61.93º .

p = 16/6 ;     p * g  =  Vhor.^2      ---- g =   9.80665  m/sec^2

Info adicional:
- con los lados 3 y 4 del triángulo central puedo calcular,

R = alcance =  4 x 5 / 2 = 10 m

Vertex=  3 * (5 * 5 / 16) = 4.6875. Es el resultado si pone la mitad del alcance,  5 = x en la ecuación.

El lugar de lanzamiento es el extremo izquierdo, donde empieza un círculo en el dibujo, de ahí se cuentan los recorridos. La parábola sigue de cerca a este arco circular, pero no es igual, por ej : llega hasta el 10 y no al 9.125 solamente.

Con todos los datos, ¿no podría alguien dibujar esta parábola?

Tiene el inicio, el alcance, el punto medio y el vertex. Además si y = 3 m de altura a distancia horizontal 8 m, es también 3 m a 2 m del lanzador. Apunte ahí * (ver Errata).

Errata del Profesor Salvatierra: ERROR. La tangente de lanzamiento 3/2 sugerida al final contradice todo lo anterior y daría por tierra con el proyectil a la distancia de 8 m. según la ecuación de trayectoria dada en ésta misma página.

La " p " complementaria de una parábola

En el diagrama se ven la "p" de Pappus y la "p" del Foco, más adelante se define la "p" complementaria.

Igual que una elipse o un círculo, la parábola se fundamenta en un triángulo.

El apex se encuentra en coordenadas (x = 4, y = 3);  es un punto de la curva.

La hipotenusa (base) del triangulo total queda dividida por su altura ( y ), en dos segmentos m y n.

m equals 2x,

n equals p como se ve en la pizarra del Profesor Salvatierra.

Se calcula:               y^2 / 2x = p ; para esta parábola, p = 9/8

El mismo trazo p a nivel del foco F llega perpendicularmente a otro punto de la curva.

El vertex 0 es un 3er punto en la curva.

La p complementaria, puede ser otra x ; en ese caso y^2 sería igual al área del triangulo central.

- corresponde a la p de una parabola basada en un triángulo central con ápex ( x = 3 , y = 4), es decir con ángulos complementarios al anterior

La p.comp se calcula:       x^2 / 2y     = 16 / 6   - tiene relación con problemas de Física.

Para postular que la Luna en realidad está cayendo a la Tierra como una manzana, Isaac Newton usó la fórmula:
X^2 / 2 r = y  ------ r es la distancia Tierra-Luna (380000 km), x es lo que avanza horizontalmente la Luna en  1 seg= 1000 m. (y) es lo que se desplazó verticalmente. Resulta apenas unos 1.315 mm.

Otro Ejemplo: 
Para que un cuerpo lanzado horizontalmente desde 3 m. de altura, llegue a 4 m de distancia se requiere que v^2 = (16/6)*g ---------( g es la constante de gravitación = 9.80665)

En el diagrama, imagine subiendo la altura y para lanzar una piedra horizontalmente que llegue justo al centro 0. Si se fija bien, verá una posible trayectoria parabólica como una tenue línea de puntos.

Nota diferida  Hay ambigüedad entre una parábola con eje horizontal y una vertical (caída libre). Tratando de aclararla descubrí que tienen 3 puntos en común en el primer cuadrante y 1 en el cuarto. Ambas cruzan la diagonal del rectángulo de coordenadas en Razón Áurea. Esta relación con el número Phi me llevó a dejar aquí algo pendiente que se retoma más adelante.

Una parábola más fácil de hacer que de decir

Esta forma de graficar una parábola fluye de todas las fórmulas, pero no la encuentro explicitada en ninguna parte, web o textos. Advertencia: quizás es un error mío.

Método

Construya un triángulo rectángulo de lados  2x * y ,  ej : 12 x 5. Será el centro neurálgico desde donde se puede calcular y construir todo.

· la tangente a la parábola, desde el apex, i.e. el punto ( x = 6, y = 5 ), corta el eje de las x en ( x = - 6, y = 0 ) y es la hipotenusa de este triángulo.

12^2 + 5^2 = 169. T es 13

( En el disco, busque el 72,  nivel 6. En el lado opuesto, el 61.

72 + 61 + (6 x 6) = 169 )

Tenemos ya cinco puntos en la curva

                · el punto ( x = 6, y = 5) y su reflejo bajo el eje
· el orígen ( x = 0, y = 0 )
· el punto ( x = p / 2, y = p ) y su reflejo bajo el eje

· p = y^2 / 2x

· p = 25 / 12

Ponga sus números complejos en línea recta

El teorema más fácil del mundo. Cómo para llamarlo de Pero Grullo.

Los números alineados en una recta horizontal a la izquierda del diagrama, tienen sus raíces cuadradas alineadas en una recta oblicua a la derecha. Así de simple.

1, 5, 13, 25, etc, responden a la fórmula:

x^2 + y^2,      i.e sus raíces cuadradas son hipotenusas de triángulos rectángulos.

La alineación de estos números enteros sólo se da en la ¨flor de 4 pétalos¨ (*ver páginas previas), en cambio, las medidas de las hipotenusas siempre forman una línea inclinada 45º  que cruza el eje de las x, a una distancia (x-y) del origen.

En este caso x-y es 1. (ver Flower Power en el índice).

¿puedo poner otro número a la izquierda, digamos el 3 ? Veamos:

Datos:
hipotenusa = R2d3 = 1.73205
x-y                         = 1
Además,
distancia perpendicular de la recta oblicua al centro = 0.707107


Fórmula

( 0.707107 x 1) / 1.73205 = sin (45 - alpha )

*alpha  es el ángulo o argumento del vector cuya magnitud es 1.73205.

La tangente de (45 - alpha) es = (x-y)/(x+y).

En este caso resulta tan (45 - alpha)= 1/R2d5.

x+y   = 2,236068
x -y    = 1

Finalmente, para (x^2 + y^2) = 3   ----- x - y = 1

x = 1.6180339       Phi
y = 0.6180339       phi

Ubique un punto en el espacio...

Un solo número, simple o complejo, se requiere para localizar un punto en el espacio.

El número 48 está en el 5º nivel orbital ,  a 2 lugares por encima del eje trasversal.

Cómo saberlo:

 raíz2 de (48/2) es aprox. 5          ----     nivel orbital 5

( 5 x 1.414213562 )^2                =                         50

                       50 - 48               =                            2

Total de la suma en el 5º anillo circular:

55 * 56 -  45 * 46 = 1010, ó

 10^3 + 10       = 1010

 

505 a derecha y a izquierda de la línea media.

La línea media

Pirámide de 30 bloques, sólo se ven 25 = 1+ 1x4 + 2x4+ 3x4

1, 5, 13, y 25 son piedras angulares alineadas, no suma de perímetros + 1,

ambigüedad en las esquinas

 En un Choapino con motivo Mapuche:

 

Veo un cuadrado al borde de 4x4 negro, más adentro uno blanco de 3x3, después negro 2x2 y 1x1 blanco al centro. Pero, ¿ son 25 ó 30 ?.



 El máximo de simetría al usar el signo de Lamat con una segunda vuelta espiral (no es necesaria). La línea media vertical divide igual número de números, igual cantidad de pares e impares, e igual suma total en cada "hemisferio"

 
 

Flor con cuatro pétalos y la línea media

"Esta flor es una pirámide vista desde arriba" dijo una ama de casa que le tiene "horror" a los números. Unos meses después en un sitio Web para matemáticos de USA, apareció esta observación, encubierta en términos técnicos...

Si no ha numerado las flores, hágalo. El tiempo apremia.

Una tabla de Pitágoras sobrevive hoy, pero sin números. Sólo agujeros regularmente espaciados donde se hacen cálculos "manipulativos"

Otros datos de la primera flor del gráfico " Flower Power":

- ecuación Pitagórica
- triples Pitagóricos de la serie de Pell
- números triangulares 1, 3, 6, 10, etc. alineados
- progresión desde( (1/Phi) hasta (1/ 1.41421356)
- después de 13 vueltas queda alineado el número calendárico 365, separado del anterior por 52 : Relación con Chichén-Itza, el Juego de los Voladores en Guachimontones, y el ciclo de Venus.
- etc., etc.

El simbolo pre-Colombino para el planeta Venus, en particular el dibujo del Obispo de Landa para Lamat , resulta clave para examinar esta herramienta numérica

a continuación la simetría de esta flor...

Claves sagradas de los Egipcios

Las claves están contenidas en los dos lugares más sagrados de la Gran Pirámide:

La Cámara del Rey y
El Templo Mortuorio

La respuestas se encuentran en los dibujos siguientes:
1)

2)

1) En el primer dibujo los puntos 1 y 3 son los focos y el punto 4 (a encontrar) es el vértice de una Elipse trazada por el conocido método del Jardinero. El triángulo 1 3 4 que se forma es el perfil de la Gran Pirámide.

 La cuerda mide 2a entre ptos. 1, 2, y 3 por lo que el cuadrado quedará inscrito en una Elipse de excentricidad:

e = phi = 0.618033989

2) El dibujo 2 ilustra que si las dos reglas son iguales, el ángulo entre la cuerda y el suelo es la mitad del ángulo que forma la regla apoyada en la pared, con el suelo.

Es el caso de la distancia desde la entrada del Templo de Difuntos a la base de la Pirámide y de ahí los 50 escalones hasta el nivel de la Cámara del Rey.

De ambos datos, se obtienen todos las proporciones y ángulos requeridos para construir la G.P.

¡Buena Suerte!

Propuesta constructiva para armar la Gran Pirámide

Las piezas necesarias se ven en el dibujo que aporta un entendido en construcción:
Esta es una  pirámide ideal en que su altura H es igual al ancho de su base a. Un lado b del cubo inscrito se deriva de:

1/a + 1/H = 1/b ,

es decir será la mitad del promedio harmónico entre la altura y el lado de la base, en cualquier pirámide.

En La Gran Pirámide no se pudo haber empezado construyendo un cubo inscrito. Al menos la mitad del área de su base está ocupada por un promontorio rocoso masivo por lo que el cuerpo central tuvo que ser otro prisma,  de base cuadrada y caras rectangulares, que llega hasta la altura de la Cámara del Rey.

Mientras este cuerpo central esté en construcción, su espacio interno estará vacío, y se construye como "terraplén de elevación" para los bloques de piedra. Hay amplias gradas talladas sobre la Roca descrita, hay hileras de piedras en plano inclinado, hay rellenos de cascajo y escombros en partes en donde el núcleo central es visible hoy.

Debo enfatizar esta idea - eche a volar su imaginación. Voy a sugerir 2 burdos ejemplos que ilustran que el objetivo de esta edificación es precisamente su propia erección.

1) Imagine que el primer paso sea construir una escala amplia, por donde se suban las piedras que la van transformando en cubo, ó
2) Un plano inclinado como túnel o galería ascendente con rieles laterales que suba desde el suelo y que después se pueda obliterar - ¿ conoce la Gran Galería?

No es posible, sin embargo, hacer rampas internas espirales creciendo desde el centro hacia afuera. La Roca lo impide.

Para hacer realidad todo ésto, sólo se requiere saber a qué altura detener la obra para construir la exquisita Cámara del Rey. Gracias a Sir Flinders Petrie en su obra sobre las pirámides, sabemos que a la entrada del Templo de Difuntos se puede instalar un control visual con ése propósito. Claro, él no lo dice, pero Ud. lo sabrá si re-estudia el Ejercicio 1.